初中数学证明
2
证明 设E,F分别边AB,CD的中点，连ME,MF,NE,NF。
则ME∥BC,MF∥AD,NE∥AD,NF∥BC，所以四边形EMFN为平行四边形。
由于NF∥BC，所以得:
S(PFN)=S(BNF)=S(BDF)/2=S(BDC)/4. (1)
同理可得:S(PFM)=S(ACD)/4. (2)
由于有
S(PMN)=S(PFN)+S(PFM)+S(FMN)=[S(BDC)+S(ACD)]/4+S(EMFN)/2.(3)
所以只需证明:
S(EMFN)=[S(ABD)-S(ACD)]/2. (4)
延长EM，NF分别交AP于G,H。平行四边形ENHG的底EN=AD/2，EN上高[即EN与AB的距离]等于三角形ABD的边AB上的高的一半，所以
S(ENHG)=S(ABD)/2.
同理可得:S(FMGH)=S(ACD)/2。
故 S(EMFN)=S(ENHG)-S(FMGH)=[S(ABD)-S(ACD)]/2.
所以(4)式成立，将(4)式代入(3)式即得所得结论.
3
证明：
分别取AE，CE的中点P和Q，连接FP,PH,HQ,QG，
下面证明三角形FPH 全等于 三角形 HQG
易知 FP = 1/2 AD = 1/2 AE = HQ
HP = 1/2 CE = 1/2 CB = GQ
易知 角DEA = 角BEC = 角ADE = 角CBE
易证 角DAE = 角BCE
角FPH = 角FPE +角EPH = 角DAE + 角BEC
角HQG = 角HQE +角EQG = 角DEA + 角CBE
于是 角FPH = 角HQG
由SAS定理，三角形FPH全等于三角形HQG
于是 FH = HG
4
分析：(1)由∠ADB+∠BAD=135°，∠ADB+∠CDE=135°，得出∠BAD=∠CDE，推出△ABD∽△DCE.第二问分AD=AE(ⅰ)当AD=AE时，∠ADE=∠AED=45°时，得到∠DAE=90°，点D、E分别与B、C重合、(ⅱ)当AD=DE时，由①知△ABD∽△DCE，、(ⅲ)当AE=DE时，有∠EAD=∠ADE=45°=∠C，故∠ADC=∠AED=90°.三种情况讨论.(2)存在，可证△ADC∽△AE′D，得到CD=AC=2.解：(1)①由∠BAC=90°，AB=AC，推出∠B=∠C=45°.由∠BAD+∠ADB=135°，∠ADB+∠EDC=135°得到∠BAD=∠EDC.推出△ABD∽△DCE.②分三种情况：(ⅰ)当AD=AE时，∠ADE=∠AED=45°时，得到∠DAE=90°，点D、E分别与B、C重合，所以AE=AC=2.(ⅱ)当AD=DE时，由①知△ABD∽△DCE，又AD=DE，知△ABD≌△DCE.所以AB=CD=2，故BD=CE=2 根号 2-2，所以AE=AC-CE=4-2根号 2.(ⅲ)当AE=DE时，有∠EAD=∠ADE=45°=∠C，故∠ADC=∠AED=90°.所以AE=DE= 1/2AC=1.(2)①存在(只有一种情况).由∠ACB=45°推出∠CAD+∠ADC=45°.由∠ADE=45°推出∠DAC+∠DE′A=45°.从而推出∠ADC=∠DE′A.证得△ADC∽△AE′D.所以 AC/CD= AD/DE′，又AD=DE′，所以CD=AC=2.考查相似三角形的判定和性质，相似三角形和全等三角形的转化.分情况讨论等腰三角形的可能性.
【扩展阅读篇】
用文字记载一个星期来的自己的思想、学习、生活情况的文字记录。
它有别于“流水账”，日记，在于流水账是有什么就记录什么，不需要作任何修饰和认识的升华，而且内容不限，一周之内可以记录您每一天的任何事情。而周记就是：每周一次，并且对自己的生活学习思想认识有一定的升华。 周记是对个人和某个团体一周的所见、所闻、所思、所感、所惑、所获的记录。还可以写一件在这一周里让你有所感触的事。
编辑本段作用
从学生角度来说，周记用来了解学生的思想动态，学习情况，答疑解惑，并通过周记的形式而置一些跟教育主题有关的主题作文，提高学生的认识，从而在全班范围内形成正确、积极、健康的舆论环境，并为主题班会准备材料，提高同学们参与的积极性。
从老师的角度来说，周记用来回顾一周的得失，提出经验教训，让班主任对班上情况有一个更加详细和全面的了解，提高工作的针对性和准确性。老师除了用来了解同学一周发生的事情外，还用来锻炼同学的文章水平，使同学文章水平得以提高。
编辑本段格式
周记的题目(写作范围：读后感;见闻;趣事;数学周记......)
1.记事
2.自评(优，缺)
3.解决措施
4.下周计划
5.自己的所见所闻所感
其实周记并没有一种标准的格式，只需要同学们每周把自己的所看到的、听到的、想到的、经历的东西记下来，形成的文字片断或一篇文章，一周写一则就可以了。
编辑本段怎么写周记
不少同学又开始问了，周记怎么写?小学初中周记开头怎么写?
如果是一个片断，将事情写清、将要表达的意思表达完整就行了，当然，时间充裕，你可以将前因后果，你的想法补充完整，形成一篇文章。不论无论，周记没有什么特殊规定的格式，跟我们平时说话写文章一样，要求就是条理清楚地说清一件事、一个想法。
周记的关键是要真，真事、真情、真想，不要虚构。用力表达你正经历的、正思考的事，对提高你的写作能力是有帮助的，不要当作负担，也不要觉得有任何压力，因为真的，只要排列一下就行了。
同时，周记交给老师后，也可让老师来了解你的生活、你的'想法，或许对你有帮助。
去年也谈过周记怎么写，转到下面，大家再看看。
老师布置了周记作业，怎么写呢?许多同学发了愁。
其实周记也好，日记也好，都是要写一段时间内印象最深的事。周记就是本星期内的事。
回想一下这个星期发生了什么，在学习上有什么问题，班级里有什么新鲜事，和朋友老师间关系如何，这些都可以写，和日记相比周记可以写的内容更多了，需要突出一两个重点。
如果大脑里立刻就想起一二件事情，记忆深刻，那么恭喜，你就有材料了，将它们的前因后果，事情经过，个人感想写清楚吧。
有人会问：不好意思，一想到过去的几天，我印象里只记得吃了一次大餐，或者只记得被老师骂了一顿，或者跟同学闹别扭心里不爽，这些都没有重要意义，怎么能写呢?告诉你，既然你想到了，就说明是值得写的。有意义的事情，不一定非得是意义重大，思想崇高，自己的生活琐事，也是值得一写的，只要你写出你的感受。我们每天的日子不都是这些细小的沙子一样的事情组成的吗?这些沙子，串起了我们的欢笑，串起了我们的忧愁，串起了我们的无聊，引领着我们一天天，不知不觉地在长大。
更有一些同学说，这个周最无味，什么也没有发生，没什么可写的。再想想，再想想，多个心眼，仔细观察，你会找到的。
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